Преобразуване на числата от десетична в р-ична бройна система, където р≥2
Естествено е, когато се работи с различни бройни системи, да се наложи да преминаваме от една бройна система в друга. Тъй като най-често едната система е десетичната ще започнем преобразуването на числата от десетична в бройна система с друга основа (в общия случай р-ична, където р≥2)
Например нека започнем с преобразуване на едно десетично число в двоично.
Разглеждаме произволно естествено число N, представено в десетична бройна система, т.е.:
N=ak.10k+ak-1.10k-1…a1.101+a0.100,
0≤ai≤9 за i=0, 1, 2, …, k и ak≠0
Нашата цел е да представим това число във вида:
N=bm.2m+bm-1 .2m-1 …b1.21+b0.20,
biÎ{0, 1}, i=0, 1, 2, …, m bm≠0.
Това означава, че трябва да намерим цифрите b0, b1, b2, …, bm, удовлетворяващи тези изисквания. За тази цел делим числото N на 2 (2 е новата основа). Получава се:
(*) N/2=N1+b0/2,
където :
N1=bm2m-1 +bm-1.2m-2 +…+b221+b120
е частното от делението на N с 2.
От (*) се вижда, че b0 е остатъкът от делението на числото N с 2. По аналогичен начин може да се намери остатъкът b1. Така се намират и останалите цифри.
Пример:
74(10)=x(2)
74:2=37, т.е. b0=0;
37:2=18+1/2, т.е. b1=1;
18:2=9, т.е. b2=0;
9:2=4+1/2, т.е. b3=1;
4:2=2, т.е. b4=0;
2:2=1, т.е. b5=0;
1:2=0+1/2, т.е. b6=1;
Получените остатъци записваме в обратен ред.
Окончателно получихме, че 74(10)=1001010(2)
Проверка: 1001010(2) =26+23+21=64+8+2=74
Обикновено превръщането на числата от десетична в двоична бройна система се извършва по следната по-компактна изчислителна схема:
7410:2 ->37:2 ->18:2->9:2->4:2->2:2->1:2->0
остатъци 0 1 0 1 0 0 1
b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6
В този ред на преобразуване получените остатъци записваме в обратен ред.
Задача:
Намерете двоичното представяне на първите 16 неотрицателни числа – от 0 до 15. Всяко двоично число запишете с 4 цифри.
Задачи:
1. Намерете двоичното представяне на десетичните числа: 31, 32, 33, 520, 1024, 1025
2. По аналогичен начин преобразувайте десетичното число 17 в осмична бройна система.
Упътване: Разделете числото 17 на основата на бройната система към която преминавате, т.е. на 8. Получавате частно, което е цялата част от делението и остатък. Полученото частно отново разделете на 8 и т.н. докато получите частно 0. Получените при делението остатъци запишете в обратен ред.
Аналогично с деление на 16 превръщаме числото 1024(10) в шестнадесетична бройна система. Получава се 400(16)
Могат да се дадат още примери за преминаване от десетична в позиционна бройна система с друга основа.
Да обобщим. Нека N е число в 10-ична бройна система. Искаме да преминем в р-ична. Знаем, че за N e в сила:
N=ak.pk+ak-1.pk-1+…+ a2.p2+a1.p1+a0.p0.
Да разделим в десетичното число N на р. Ще получим частно
M1=ak.pk-1+ak-1.pk-2+…+ a2.p1+a1
и остатък а1. Продължаваме така, докато получим частното Mk=ak. Получените остатъци и частното Mk, взети в ред, обратен на реда на получаването, дават представянето на числото в р-ична бройна система.
Задачи за самостоятелна работа:
1. Представете последователно в двоична, троична и шестнадесетична бройна система десетичните числа: 32, 256, 65536, 1111, 222222
2. Превърнете десетичните числа в двоични:
а/ 37 б/ 65 в/ 127 г/ 308